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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（八）  

有限元方法的抽象形式现在让我们考虑PDE问题[3]：在域Ω中，边界条件为。这是对流－扩散方程的一种特例，其中，。通过分部积分，表明当试函数选择成在边界上具有相同的边界条件时，弱形式中的边界项为0。得到弱形式为：其中包含前面提到的两种标量积，可改写为：找到，使得对于所有属于相配的Hilbert空间中的，有：这里的相配的空间是H1，且在边界上。解函数u也必须属于这个空间。注意，对于前面提到的弱形式，我们可以很自由地添加不同的标量积，因为每个积的结果是实数或虚数。现在我们选择前面讨论的基函数的和（线性组合）来近似u和，近似解被称作和。这些函数属于Hilbert空间，可称为，由线性基函数扩展而来。的空间维数为N（基函数的数目）。此外，是H1的子空间，换句话说，如果函数属于，则它自动地属于H1。空间H1是一个大得多的空间，因为它是无限维的。有限的基函数不可能扩散成属于H1的所有函数。弱形式的有限元现在变成了：对于中的所有，在中找到，使得现在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：用代替。这是合理的，因为在H1中，而在中，由于是H1的子空间...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（七）  

有限元方法本章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题：这是一个对流－扩散问题的特殊情况，其中，。有限元的基本实现是将整个计算域Ω离散为多个特别简单的形状的小单元，比如2D中的三角形，3D中的四面体等等。相应的网格，例如三角形，由边和节点组成。下一步就是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采用线性多项式插值的所谓基函数的和。基函数的构造方法是指定某个节点为1，而相邻的节点为0，二者之间的值就是从0到1线性变化。这里说的相邻指的是中间有一条边将其连接起来。遍历三角形网格的所有节点（从1到N）。定义节点i的基函数为，也就是在节点i处其值为1，其他点处值为0。注意只是在节点i及其相邻的三角形内不为零。现在假设真实值u可以用基函数的求和来近似描述：参数是在节点i的值。同样，我们可以对试函数进行类似处理：下标h表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸h的网格。由于我们可以任意选择试函数，因此可以将除了j点以外的所有的设置为零，接下来我们将所有的试函数（j＝1,...,N）输入到弱形式中去，每个试函数都可以得到...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（七）  

有限元方法本章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题：这是一个对流－扩散问题的特殊情况，其中，。有限元的基本实现是将整个计算域Ω离散为多个特别简单的形状的小单元，比如2D中的三角形，3D中的四面体等等。相应的网格，例如三角形，由边和节点组成。下一步就是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采用线性多项式插值的所谓基函数的和。基函数的构造方法是指定某个节点为1，而相邻的节点为0，二者之间的值就是从0到1线性变化。这里说的相邻指的是中间有一条边将其连接起来。遍历三角形网格的所有节点（从1到N）。定义节点i的基函数为，也就是在节点i处其值为1，其他点处值为0。注意只是在节点i及其相邻的三角形内不为零。现在假设真实值u可以用基函数的求和来近似描述：参数是在节点i的值。同样，我们可以对试函数进行类似处理：下标h表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸h的网格。由于我们可以任意选择试函数，因此可以将除了j点以外的所有的设置为零，接下来我们将所有的试函数（j＝1,...,N）输入到弱形式中去，每个试函数都可以得到...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（六）  

结构力学PDE问题静态结构力学的基本方程是Navier方程：边界条件：对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：约定标记如下：l  矢量u的分量：u，v和w。l  位移矢量梯度的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。l  试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。l  试位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。l  弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66l  体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。l  边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。在子域内，弱形式输入为：其中这些表达式定义了应变分量（ex，ey，......
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（五）  

COMSOL Multiphysics的弱形式用法本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。对流－扩散PDE问题假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式：l  系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。l  矢量的分量由bx，by和bz表示。在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下：l  未知函数的标记为ul  的分量标记为ux，uy和uz。l  试函数的标记为u_test。l  的分量标记为ux_test，uy_test，uz_testl &nb...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（四）  

弱形式那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式实际上已经在前面的推导过程中出现过了，即一阶变分的原形式：如果我们回到COMSOL Multiphysics的文档（或者是关于有限元和弱形式的书籍中），会发现所谓的试函数相当于扰动，弹性静力学PDE方程的弱形式为了更好的理解弱形式，我们必须丢弃前面讨论的能量最小化原理，转向一种更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更强大，是因为它还可以应用到一些没有得到较好的能量定义的问题中。首先我们考虑弹性静力学的PDE方程边界条件是：抽象的过程如下：乘上容许范围内的试函数v，在感兴趣的域内积分可得：对左侧利用Green公式进行分部积分：应用PDE方程的边界条件，可以得到：整理可得：这就是PDE方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的，则上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解称为强解，而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是弱形式对于积分参数的连续性要求比PDE形式低。由于变形梯度和弹性张量在弱形式里面都不需要微分，所以对函数连续性要求没有那么严格，而在PDE形式中，所有的变量都处在散度的算子下，这要求这些变量必须是可...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（三）  

弹性静力学问题变分我们将通过两个步骤来介绍最小能量法理论。首先粗略说明，让大家熟悉基本概念；接下来考虑细节。还是以线性静态问题为例，因为这是所有有限元理论都会提到的，从而更容易进行比较。理论概述让我们回到线弹性问题的弹性能泛函表达式：这里的位移矢量u和前面讲的微积分中的点矢量x的角色类似。       要寻找能量泛函的最小值，我们首先必须得在u上施加一个扰动：上式中两个中间项实质上是一样的（因为c的对称性），所以我们可以写成：将上式和多元函数表达式对比，我们发现寻找极值点就是找一个使二次项为零的u：其中是任意的。如果我们要寻找的是极小点，则还必须有：第二项就是泛函的一阶微分：第三项成为泛函的二级微分：和前面一样，为了寻找极小点，我们必须保证对于任意第一阶微分为零，二阶微分为正。这种寻找最小势能函数的方法也可以称作虚功原理。另外还有一种方法就是初始的时候将扰动写成，这时对于任意可取的，其能量函数写成。回到微积分的基本概念，去寻找W对于的极值点：如果我们将它看成是对于的Taylor展开，就可以找出其一阶导数（对于极值点必...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（二）  

静态电流传导和能量的生成在静态导电问题中，PDE方程由最基本的保守形式开始：其中J是电流密度。材料（或本构）模型采用欧姆Ohm定律：其中E是电场，是电导率。另外，已知：其中是静电势，综合以上式子得到在COMSOL Multiphysics中，这就是所谓的Conductive Media DC方程。电阻产生的热能稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热其中J表示电流强度，E代表电场强度，是一个二阶电导张量(3×3)。如果导体是金属，电导张量一般是一个对角矩阵，如果是晶体，情况就复杂多了。       尽量减少电阻产生的热量，也就是减少热损耗，是我们要研究的一个最小值问题。       如果问题是线性，则积分可以显式地写成：因为，其中V是电势，可以得到：将这个式子与结构力学中的式子进行对比，发现他们非常相似。的梯度对应于位移梯度，电导率张量对应于弹性张量。在稳态电流和结构力学的计算过程中，张量形式都可以改写为矩阵形式。传热P...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Multiphysics弱形式入门（一）  

COMSOL Multiphysics弱形式入门 物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式 本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。       为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics...
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(From:Thinking in COMSOL)    COMSOL Users Feature Heavily in June’s IEEE Spectrum  

COMSOL Users Feature Heavily in June’s IEEE SpectrumShare this pageNews         | Posted on May 11th, 2012 by Phil KinnaneA really exciting project has just been finished here at COMSOL, which was great to be a part of. The next issue of IEEE Spectru...
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